(читается «эль-пэ»; также Лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их -я степень интегрируема, где .

 — важнейший класс банаховых пространств. (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Содержание 1 Построение пространства Lp 2 Полнота пространства Lp 3 Пространство L² 4 Пространство L∞ 5 Свойства пространств Lp 6 Пространства сопряжённые к Lp 7 Пространства lp, 1 ≤ p ≤ ∞ 8 Примечания 9 Литература

Построение пространства L^p

Определение 1. Пусть дано пространство с мерой . Фиксируем и рассмотрим множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что

Обозначим это множество или просто .

Теорема 1. Пространство линейно. Доказательство следует из элементарных свойств интеграла Лебега, а также неравенства Минковского.

На этом линейном пространстве можно ввести полунорму:

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы.

Замечание 1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если почти всюду, то , что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.

Определение 2. Введём на отношение эквивалентности. Будем говорить, что , если почти всюду.

Это отношение разбивает пространство на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают.

Тогда на построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) можно ввести норму равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Определение 3. Факторпространство с построенной на нём нормой называется пространством или просто .

Замечание 2. Чаще всего вышеизложенное построение имеют в виду, но не упоминают явно. Тогда элементами называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, «определённые с точностью до меры нуль».

 Комментарий: при , не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника^[1], однако образуют метрическое пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

Полнота пространства L^p

Введённая выше норма вместе с линейной структурой порождает метрику

а следовательно и понятие сходимости.

Определение 3. Пусть есть последовательность функций . Тогда эта последовательность сходится к функции , если

при

Теорема 2. Пространство полно, то есть любая фундаментальная последовательность в сходится к элементу этого же пространства. Таким образом  — банахово пространство.

Пространство L²

В случае введённая выше норма порождается скалярным произведением. Таким образом вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция и пр.

Определение 4. Введём на пространстве скалярное произведение следующим образом:

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или

если они вещественные. Тогда, очевидно,

то есть норма порождается скалярным произведением. Используя это вместе с результатом о полноте любого , заключаем, что имеет место

Теорема 3. Пространство гильбертово.

Пространство L^∞

Рассмотрим пространство измеримых функций, ограниченных почти всюду. Отождествив между собой функции, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению

получим полное нормированное, то есть банахово пространство.

Метрика, порождаемая этой нормой, называется равномерной. Так же называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

в , если при .

Свойства пространств L^p

• Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве . Пусть при и при , . Тогда почти всюду. Но . Обратное также неверно.
• Если при , то существует подпоследовательность , такая что почти всюду.
• функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть  — подмножество , состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда всюду плотно в .
•  — сепарабельно.
• Если  — конечная мера, например, вероятность, и , то . В частности, , то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Пространства сопряжённые к L^p

Пространством называется пространство линейных функционалов на . Это пространство сопряжённое к (копространство).

Теорема 4. Если , то изоморфно (пишем ), где . Любой линейный функционал на имеет вид:

где .

В силу симметрии уравнения , само пространство дуально (с точностью до изоморфизма) к , а следовательно:

Этот результат справедлив и для случая , то есть . Однако, и, в частности, .

Пространства l^p, 1 ≤ p ≤ ∞

Пусть , где  — счётная мера на , то есть . Тогда если , то пространство представляет собой семейство последовательностей , таких что

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

Получившееся нормированное пространство обозначается .

Если , то мы рассматриваем пространство ограниченных последовательностей с нормой

Получившееся пространство называется . Оно является примером не сепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив , мы получаем гильбертово пространство , чья норма порождена скалярным произведением

если последовательности комплекснозначные, и

если они вещественны.

Пространство, дуальное к , где изоморфно , . Для . Однако, .

Примечания

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.