Декартов лист — плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе . Параметр определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

История

Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где и принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).

В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

Уравнения

• В прямоугольной системе по определению:

• В полярной системе:

.

• Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

, где .

Часто рассматривают повёрнутую на кривую. Её уравнения выглядят так:

• В прямоугольной системе:

, где

• Параметрическое:

• В полярных координатах:

Свойства

• Прямая — ось симметрии, её уравнение: .
• Точка A называется вершиной, её координаты .

• Для обеих ветвей существует асимптота , её уравнение: .

• Площадь области между дугами и

• Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли .

• Объём тела, образованного при вращении дуги вокруг оси абсцисс

Исследование кривой

При имеем или , или , то есть .

Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:

.

Производная

Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:

.

Приравниваем производную y' нулю и решаем, полученное уравнение, относительно x. Получим: . При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге — точка и минимум на нижней дуге — точка . Значение функции в этих точках равно:

.

Значение производной y’ в точке равно , то есть касательные в точке взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом .

Ссылки

• Д. К. Бобылёв Декартов лист // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.