В математике, производная Пинкерля T’ линейного оператора T:K[x] → K[x] на векторном пространстве многочленов от переменной x над полем K это коммутатор оператора T с умножением на x в алгебре эндоморфизмов End(K[x]). T.e. T’ является еще одним линейным оператором T’:K[x] → K[x]

Более подробно, на многочлене этот оператор действует следующим образом:

Названа в честь итальянского математика Сальватора Пинкерля^[en] (1853—1936).

Свойства

Производная Пинкерля, как и любой коммутатор, является дифференцированием, удовлетворяющим правилу произведения и суммы: для любых линейных оператора и , принадлежащих , выполняется

1.  ;
2. где является композицией операторов ;

Также где  — обычная скобка Ли, что следует из тождества Якоби.

Обычная производная, D = d/dx, является оператором на многочленах. Прямое вычисление показывает, что её производная Пинкерля равна

По индукции, эта формула обобщается до

Это доказывает, что производная Пинкерля дифференциального оператора

также является дифференциальным оператором, так что производная Пинкерля есть дифференцирование .

Оператор сдвига

может быть записан

с помощью формулы Тейлора. Тогда его производная Пинкерля равняется

Другими словами, операторы сдвига есть собственные векторы производной Пинкерля, чей спектр есть все пространство скаляров .

Если T инвариантен к сдвигу, то есть если T коммутирует с S_h или , мы также имеем: , так что также является инвариантным к тому же сдвигу .

Дельта-оператор^[en] дискретного времени

это оператор

чья производная Пинкерля — оператор сдвига .

См. также

• Коммутатор операторов

Ссылки

• Weisstein, Eric W. «Pincherle Derivative». MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Biography of Salvatore Pincherle на MacTutor History of Mathematics archive.