Плосконосый додекаэдр^[1][2], курносый додекаэдр^[3] или плосконосый икосододекаэдр — это полуправильный многогранник (архимедово тело), одно из тринадцати выпуклых изогональных^[en] непризматических тел, гранями которых являются два или более правильных многоугольника.

Плосконосый додекаэдр имеет 92 грани (наибольшее количество из всех архимедовых тел), 12 из них являются пятиугольниками, а остальные 80 — правильными треугольниками. У него 150 рёбер и 60 вершин.

Многогранник имеет две различные формы, являющиеся зеркальными образами^[en] (или «энантиоморфным видом») друг друга. Объединение обоих видов образует соединение двух плосконосых додекаэдров^[en], а выпуклая оболочка этой конструкции является ромбоусечённым икосододекаэдром.

Кеплер первоначально назвал его в 1619 по латински dodecahedron simum в своей книге Harmonices Mundi. Гарольд Коксетер заметил, что многогранник можно получить равным образом из додекаэдра или икосаэдра и назвал его плосконосым икосододекаэдром, с вертикальным символом Шлефли ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$.

Декартовы координаты

Декартовыми координатами вершин плосконосого додекаэдра являются все чётные перестановки

(±2α, ±2, ±2β),

(±(α+β/ϕ+ϕ), ±(−αϕ+β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ−1)),

(±(α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ−β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ+1)),

(±(−α/ϕ+βϕ+1), ±(−α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β−1/ϕ)) и

(±(−α/ϕ+βϕ−1), ±(α−β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β+1/ϕ)),

с чётным числом знаков плюс, где

α = ξ − 1 / ξ

и

β = ξϕ + ϕ² + ϕ /ξ,

Здесь ϕ = (1 + √5)/2 — золотое сечение, а ξ является вещественным решением уравнения ξ³ − 2ξ = ϕ и это число равно

${\displaystyle \xi ={\sqrt[{3}]{{\frac {\phi }{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\phi -{\frac {5}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {\phi }{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\phi -{\frac {5}{27}}}}}}}$

или, приближённо, 1,7155615.

Этот плосконосый додекаэдр имеет длину ребра примерно 6,0437380841.

Если взять нечётные перестановки вышеприведённых координат с чётным числом знаков плюс, получим другую, энантиоморфную форму первого. Хотя это и не сразу очевидно, тело, полученное из чётных перестановок, является тем же самым, что и из нечётных. Тем же образом, зеркальное отображение многогранника будет соответствовать либо чётным перестановкам, либо нечётным.

Площадь поверхности и объём

Для плосконосого додекаэдра с длиной ребра 1 площадь поверхности равна

${\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55,28674495844515}$

а объём равен

${\displaystyle V={\frac {12\xi ^{2}(3\phi +1)-\xi (36\phi +7)-(53\phi +6)}{6{\sqrt {3-\xi ^{2}}}^{3}}}\approx 37,61664996273336}$,

где ϕ — золотое сечение.

Плосконосый додекаэдр имеет наивысшую сферичность^[en] из всех архимедовых тел.

Ортогональные проекции

Плосконосый додекаэдр имеет две специальные ортогональные проекции, центрированные относительно двух типов граней — треугольных и пятиугольных, соответствующие плоскостям Коксетера A₂ и H₂.

Геометрические связи

Плосконосый додекаэдр может быть получен из двенадцати правильных пятиугольных граней додекаэдра путём их вытягивания наружу^[en], так что они перестают касаться друг друга. При вытягивании на подходящее расстояние это даст ромбоикосидодекаэдр, если заполнить полученное пространство между разделёнными рёбрами квадратами, а между разделёнными вершинами — треугольниками. Но чтобы получить плосконосый вид, заполняем только треугольные грани, квадратные промежутки оставляем пустыми. Теперь поворачиваем пятиугольники относительно их центров вместе с треугольниками, пока квадратные промежутки не превратятся в равносторонние треугольники.

Плосконосый додекаэдр можно также получить из ромбоусечённого икосододекаэдра путём альтернации^[en]. Шестьдесят вершин ромбоусечённого икосододекаэдра образуют многогранник, топологически эквивалентный одному плосконосому додекаэдру. Оставшиеся шестьдесят образуют его зеркальное отражение. Получившийся многогранник вершинно транзитивен^[en], но не однороден, поскольку имеет рёбра разной длины, необходима некоторая деформация, чтобы привести его к однородному многограннику.

Связанные многогранники и мозаики

Этот полуправильный многогранник принадлежит последовательности плосконосых^[en] многогранников и мозаик с вершинной фигурой (3.3.3.3.n) и диаграммой Коксетера — Дынкина . Эти фигуры и их двойственные имеют (n32) вращательную симметрию^[en] и существуют в евклидовой плоскости для n=6 и гиперболической плоскости для любого n, большего 6. Можно считать, что последовательность начинается с n=2, если допустить, что некоторое множество граней вырождается в двуугольники.

Граф плосконосого додекаэдра

В теории графов граф плосконосого додекаэдра — это граф вершин и рёбер^[en] плосконосого додекаэдра. Он имеет 60 вершин и 150 рёбер и является архимедовым графом ^[4].

См. также

• Преобразование плоского многоугольника в многогранник Анимация
• ccw и cw — вращающиеся плосконосые додекаэдры

Примечания

Литература

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Snub dodecahedral graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• 3D convex uniform polyhedra
• Editable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view
• The Uniform Polyhedra
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
• The Snub Dodecahedron made with LEGO by Antonio Nicassio (ITALY)