Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения.
Определения
Случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
- .
- Существует вектор и неотрицательно определённая симметричная матрица размерности , такие что характеристическая функция вектора имеет вид:
- .
Замечания
- Если рассматривать только распределения с невырожденной ковариационной матрицей, то эквивалентным будет также следующее определение:
- Существует вектор и неотрицательно определённая симметричная матрица размерности , такие что плотность вероятности вектора имеет вид:
-
- ,
- где — определитель матрицы , а — матрица обратная к
- Вектор является вектором средних значений , а — его ковариационная матрица.
- В случае , многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.
- Если случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, то пишут .
Свойства многомерного нормального распределения
- Если вектор имеет многомерное нормальное распределение, то его компоненты имеют одномерное нормальное распределение. Обратное, вообще говоря, неверно (см. пример [1])!
- Если случайные величины имеют одномерное нормальное распределение и совместно независимы, то случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариаций такого вектора диагональна.
- Если имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарно некоррелированы, то они независимы. Однако, если только компоненты имеют одномерное нормальное распределение и попарно не коррелируют, то отсюда не следует, что они независимы.
- Контрпример. Пусть , а с равными вероятностями. Тогда если , то корреляция и равна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы.
- Многомерное нормальное распределение устойчиво относительно линейных преобразований. Если , а — произвольная матрица размерности , то
- .