Бета-распределение

Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода	для
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Бе́та распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.

Определение

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности , имеющей вид:

,

где

• произвольные фиксированные параметры, и
• — бета-функция.

Тогда случайная величина имеет бета-распределение. Пишут: .

Форма графика

Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров и .

• — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
• или — график строго убывающий (синяя кривая)
  • — график строго выпуклый;
  • — график является прямой линией;
  • — график строго вогнутый;
• график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
• или — график строго возрастающий (зелёная кривая);
  • — график строго выпуклый;
  • — график является прямой линией;
  • — график строго вогнутый;
• — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)

В случае, когда , плотность вероятности симметрична относительно (красная и пурпурная кривые), то есть

.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , имеющей бета-распределение, имеют вид:

,

.

Связь с другими распределениями

• Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения:

  .

• Бета-распределение широко используется в байесовской статистике, так как оно является сопряжённым априорным распределением для распределения Бернулли, биномиального и геометрического распределений.
• Если — независимые гамма распределённые случайные величины, причём , а , то

  .